Question

（2013•德州二模）四棱柱ABCD-A₁B_lC_lD₁的直观图和三视图如下图所示，其正（主）视图、侧（左）视图为矩形，俯视图为直角梯形．
（I）求证：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）若异面直线A₁D与BC所成的角为60°，求二面角A-A₁C-D的大小．

Answer 1

分析：（I）由题意，可先证BC与平面A₁AC中两个相交线垂直，再由线面垂直的判定定理即可得出所要证的结论；
（II）考查本题的图形，存在同一点出发的三个两两垂直的线段，故可建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角A-A₁C-D的大小．

解答：解：（I）由题知A₁A⊥平面ABCD，所以A₁A⊥BC，
取AB的中点E，连接CE，DE，易证得BE∥CD，且BE=CD，所以四边形ABCD为直角梯形，AB⊥DA，
又因为AB=2DC，AB∥DC，所以AB⊥CE，且AB=2CE，
所以平行四边形ADCE是正方形，
因此DE⊥AC，所以BC⊥AC，
因为AA₁∩AC=A，
所以BC⊥平面A₁AC
（II）由（I）知AD，AB，AA₁两两垂直，故分别以AD，AB，AA₁所在方向为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，且DC=1，设（0，0，z）（z＞0），
则由题设条件知A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0）
∴

A1C

=（1，1，-z），

A1D

=（1，0，-z），

BC

=（1，-1，0），
因为异面直线A₁D与BC所成的角为60°，
所以|cos＜

BC

，

A1D

＞|=

A1D • BC

| A1D || BC |

=

1

2

，解得z=1
设

m

=（a，b，c）为平面A₁DC的一个法向量，则

m • A1C =0 m • A1D =0

，即

a-c=0 a+b-c=0

，解得b=0
设a=1，则c=1，所以

m

=（1，0，1）
由（I）知

BC

=（1，-1，0）为平面A₁AC的一个法向量，
∴cos＜

m

，

BC

＞=

m • BC

| m || BC |

=

1×1-1×0+0×1

2 × 2

=

1

2

由图知二面角A-A₁C-D为锐角
所以二面角A-A₁C-D的大小为60°

点评：本题考查利用空间向量求二面角及线面垂直的证明，空间向量是解决立体几何中线面位置关系及求空间角的重要工具，熟练掌握空间向量的运算与空间图形的位置关系的对应是解答此类题的关键，解题中要注意总结空间向量在几何问题中的使用规律，灵活运用空间向量的知识解答立体几何中的疑难题．