题目内容

lim
n→∞
(
4
5
-
6
7
)+(
4
52
-
6
72
)+…+(
4
5n
-
6
7n
)
(
5
6
-
4
5
)+(
5
62
-
4
52
)+…+(
5
6n
-
4
5n
)
=
 
．
分析：先把原式转化成
lim
n→∞
(
4
5
+
4
52
+…+
4
5n
)-(
6
7
+
6
72
+…+
6
7n
)  
(
5
6
+
5
62
+…+
5
6n
) -(
4
5
+
4
52
+…+
4
5n
)  
，再由无穷递缩等比数列的求和公式求得
lim
n→∞
(
1
5
)n-(
1
7
)n
(
1
6
)n-(
1
5
)n
=
lim
n→∞
1-(
5
7
)n
(
5
6
)n-1
，由此可得到
lim
n→∞
(
4
5
-
6
7
)+(
4
52
-
6
72
)+…+(
4
5n
-
6
7n
)
(
5
6
-
4
5
)+(
5
62
-
4
52
)+…+(
5
6n
-
4
5n
)
的值．
解答：解：
lim
n→∞
(
4
5
-
6
7
)+(
4
52
-
6
72
)+… +(
4
5n
-
6
7n
)    
(
5
6
-
4
5
) +(
5
62
-
4
52
)+…+(
5
6n
-
4
5n
)    
=
lim
n→∞
(
4
5
+
4
52
+…+
4
5n
)-(
6
7
+
6
72
+…+
6
7n
)  
(
5
6
+
5
62
+…+
5
6n
) -(
4
5
+
4
52
+…+
4
5n
)  

=
lim
n→∞
4
5
[1-(
1
5
)n]
1-
1
5
-
6
7
[1-(
1
7
)n]
1-
1
7
5
6
[1-(
1
6
)n]
1-
1
6
-
4
5
[1-(
1
5
)n]
1-
1
5
-
=
lim
n→∞
(
1
5
)n-(
1
7
)n
(
1
6
)n-(
1
5
)n
=
lim
n→∞
1-(
5
7
)n
(
5
6
)n-1
=-1．
点评：本题考查了等比数列的求和公式以及数列极限的基本类型，解题时要注意计算能力的培养．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=
1
1+a•2bx
的定义域为R，且
lim
n→∞
f（-n）=0（n∈N*）
（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；
（Ⅱ）若f（1）=
4
5
，且f（x）在[0，1]上的最小值为
1
2
，试求f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N），试比较Sn与n+
1
2n+1
+
1
2
(n∈N*)的大小并证明你的结论．
定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为
n
a1+a2+…+an
．若数列{an}的前n项的“均倒数”为
1
n+2
，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{bn}的前n项和Sn，求
lim
n→∞
Sn+1
Sn
的值；
（3）已知cn=(
4
5
)n，问数列{an•cn}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．
lim
n→∞
(
4
5
-
6
7
)+(
4
52
-
6
72
)+…+(
4
5n
-
6
7n
)
(
5
6
-
4
5
)+(
5
62
-
4
52
)+…+(
5
6n
-
4
5n
)
=______．
定义：数列{an}的前n项的“均倒数”为
n
a1+a2+…+an
．若数列{an}的前n项的“均倒数”为
1
n+2
，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{bn}的前n项和Sn，求
lim
n→∞
Sn+1
Sn
的值；
（3）已知cn=(
4
5
)n，问数列{an•cn}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．

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