Question

定义：数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

n

a1+a2+…+an

．若数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

1

n+2

，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知bn=tan(t＞0)，数列{b_n}的前n项和S_n，求

lim

n→∞

Sn+1

Sn

的值；
（3）已知cn=(

4

5

)n，问数列{a_n•c_n}是否存在最大项，若存在，求出最大项的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=n（n+2），当n≥2时，利用递推公式a_n=S_n-S_n-1及a₁=s₁可求
（2）由（1）可得，bn=tan=t^（2n+1），从而可得{b_n}是以t³为首项，t²为公比的等比数列
当t=1时，S_n=n，代入可求极限；当t≠1时，Sn=

t3(1-t2n)

1-t2

，

Sn+1

Sn

=

1-t2n+2

1-t2n

，分0＜t＜1，t＞1，分别求解极限
（3）由（1）可得，a_n•c_n=（(2n+1)•(

4

5

)n令D（n）=(2n+1)•(

4

5

)n，若D（n）最大
则

(2n+1)•( 4 5 )n≥(2n+3)•( 4 5 )n+1 (2n+1)•( 4 5 )n≥(2n-1)•( 4 5 )n-1

，解不等式结合n∈N^* 可求

解答：解：（1）由题意可得，S_n=a₁+a₂+…+a_n=n（n+2）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1
而a₁=S₁=3适合上式
∴a_n=2n+1
（2）由（1）可得，bn=tan=t^（2n+1）
∴

bn+1

bn

=

t2n+3

t2n+1

=t²且，b₁=t³
∴{b_n}是以t³为首项，t²为公比的等比数列
当t=1时，S_n=n

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

n+1

n

=1
当t≠1时，Sn=

t3(1-t2n)

1-t2

，

Sn+1

Sn

=

1-t2n+2

1-t2n

若0＜t＜1，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

=1
若t＞1，

lim

n→∞

Sn+1

Sn

=

lim

n→∞

1-t2n+2

1-t2n

lim

n→∞

1 t2n - t2

1 t2n -1

=t²
（3）由（1）可得，a_n•c_n=（(2n+1)•(

4

5

)n
令D（n）=(2n+1)•(

4

5

)n，若D（n）最大
则

(2n+1)•( 4 5 )n≥(2n+3)•( 4 5 )n+1 (2n+1)•( 4 5 )n≥(2n-1)•( 4 5 )n-1

∴

2n+1≥ 4(2n+3) 5 4(2n+1) 5 ≥2n-1

∴

7

2

≤n≤

9

2

∵n∈N^*∴n=4，此时D（4）=9• (

4

5

)4最大

点评：本题主要考查了利用递推公式a_n=S_n-S_n-1及a₁=s₁求数列的通项公式，等比数列的通项公式及求和公式的应用，数列极限的求解，利用数列的单调性求解数列的最大项，体现了分类讨论的思想的应用．