Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求直线EC与AF所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过建立空间直角坐标系，得到与的坐标，利用它们的夹角公式即可得到异面直线EC与AF所成角的余弦值；
（2）利用线面垂直的性质求出平面ABCD与平面AEF的一个法向量，利用法向量的夹角即可得到二面角的余弦值．
解答：解：（1）建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），
∴，．
∴，
故直线EC与AF所成角的余弦值为．
（2）平面ABCD的一个法向量为．
设平面AEF的一个法向量为，
∵，，∴，
令x=1，则y=2，z=-1，
∴．
由图知二面角E-AF-B为锐二面角，其余弦值为．
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系、利用异面直线的方向向量的夹角公式即可得到异面直线EC与AF所成角的余弦值、利用两个平面的法向量的夹角得到二面角的余弦值的方法是解题的关键．