Question

【题目】已知函数， .

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得，解得实数的值；（2）设，构造函数，则转化为在上为增函数，即得在上恒成立，参变分离得，最后根据二次函数最值求实数的取值范围；（3）先化简不等式，并构造函数，求导数，按导函数零点与定义区间大小关系讨论函数单调性，根据单调性确定函数最小值，根据最小值小于零解得实数的取值范围.

试题解析：解：（1）由，得.　

由题意， ，所以.　　　　　　　　　　

（2）.

因为对任意两个不等的正数，都有恒成立，设，则即恒成立.

问题等价于函数，

即在上为增函数，　　　　

所以在上恒成立.即在上恒成立.

所以，即实数的取值范围是.　　　

（3）不等式等价于，整理得.构造函数，

由题意知，在上存在一点，使得.

.

因为，所以，令，得.

①当，即时， 在上单调递增.只需，解得.

②当即时， 在处取最小值.

令即，可得.

令，即，不等式可化为.

因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③当，即时， 在上单调递减，只需，解得.

综上所述，实数的取值范围是.