Question

设a₁,a₂, …,a_n都是正数，b₁,b₂, …,b_n是a₁,a₂，…,a_n的任一排列，求证：

a₁^pb₁^-q+a₂^pb₂^-q+…+a_n^pb_n^-q≥a₁^p-q+a₂^p-q+…+a_n^p-q(p,q为正数).

Answer 1

证明：设a₁≥a₂≥a₃≥…≥a_n＞0,

由题设a₁^p≥a₂^p≥…≥a_n^p,a_n^-q≥a_n-1^-q≥…≥a₁^-q.

根据排序原理，得

a₁^pb₁^-q+a₂^pb₂^-q+…+a_n^pb_n^-q≥a₁^p-q+a₂^p-q+…+a_n^p-q.