题目内容

对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）= $数学公式$
（1）若函数f（x）= $数学公式$ +2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

解（1）由函数 $\text{[math]}$ 可得M={x|x≠-1}，N=R
从而 $\text{[math]}$ …..
当x＞-1时， $\text{[math]}$ …．
当x＜-1时， $\text{[math]}$ …．
所以h（x）的取值集合为{y|y≤-2，或y≥2或y=1}…．
（2）由函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+a）的定义域为R
所以，对于任意x∈R，都有h（x）=f（x）•g（x）即对于任意x∈R，都有cosx=f（x）•f（x+a）
所以，我们考虑将cosx分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以，令 $\text{[math]}$ ，且α=π，即可 …..
又 $\text{[math]}$
所以，令 $\text{[math]}$ ，且α=2π，即可（答案不唯一）
分析：（1）先根据函数定义域的求法求出M，N，即可得到函数h（x）的解析式，再结合基本不等式进而求出函数h（x）的取值集合；
（2）先根据函数y=f（x）的定义域为R，得g（x）=f（x+a）的定义域为R；再结合函数h（x）的表达式得到cosx=f（x）•f（x+a）；然后可以将cosx分解成两个函数的乘积，而且这两个函数还可以通过平移相互转化．
点评：本题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法以及函数的值域的求法．分段函数的值域是先分段求出，最后再综合．

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给出下列几个命题：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若函数f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④设函数y=

的最大值和最小值分别为M和m，则M=

m；
⑤若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是

．（写出所有正确命题的序号）

（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=

f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N

f(x)，当x∈M且x∉N

g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x²+2x+2，设b_n为曲线y=h（x）在点（a_n，h（a_n））处切线的斜率；而{a_n}是等差数列，公差为1（n∈N^*），点P₁为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点P_n的坐标为（a_n，b_n）．求证：

；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N

f(x)，当x∈M且x∉N

g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f（x）=

，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．

给出下列几个命题：
①若函数f（x）的定义域为R，则g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若函数f（x）是定义域为R的奇函数，对于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③已知x₁，x₂是函数f（x）定义域内的两个值，当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂），则f（x）是减函数；
④设函数

的最大值和最小值分别为M和m，则

；
⑤若f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x+2）也为奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．
其中正确的命题序号是．（写出所有正确命题的序号）