Question

某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．(例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为)

(1)请你为其选择一条由A到B的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线)，使得途中发生堵车事件的概率最小；

(2)若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

解：(1)记路段MN发生堵车事件为MN．

因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁为

1-P()=1-P()·P()·P()

=1-[1-P(AC)][1-P(CD)][1-P(DB)]=1-；

同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂为1-P()=(小于)

路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃为1-P()=(大于)

显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．

因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．

(2)路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．

P(ξ=0)=P()=．

P(ξ=1)=P(AC·)+P(·CF·)+P()

=

P(ξ=2)=P(AC·CF·)+P(AC··FB)+P(·CF·FB)

P(ξ=3)=P(AC·CF·FB)=，

∴Eξ=0×+1×

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为.