Question

某人居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为

1

5

，路段CD发生堵车事件的概率为

1

8

）
（1）请你为其选择一条由A到B的最短路线（即此人只选择从西向东和从南向北的路线），使得途中发生堵车事件的概率最小；
（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量ξ，求ξ的数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，利用相互独立事件的概率公式做出各个路段堵车的概率，得到选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．
（2）由题意知路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3，结合变量对应的事件和相互独立事件的概率公式，写出变量对应的概率，做出期望值．

解答：解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．
∵各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，
∴路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P₁为
1-P（

.

AC

•

.

CD

•

.

DB

）=1-P（

.

AC

）•P（

.

CD

）•P（

.

DB

）
=1-[1-P（AC）][1-P（CD）][1-P（DB）]=1-

4

5

•

7

8

•

2

3

=

8

15

；（3分）
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P₂为1-P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

1

2

（小于

8

15

）
路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P₃为1-P（

.

AE

•

.

EF

•

.

FB

）=

5

8

（大于

8

15

）  
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择．
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数ξ可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）=

1

2

P（ξ=1）=P（AC•

.

CF

•

.

FB

）+P（

.

AC

•CF•

.

FB

）+P（

.

AC

•

.

CF

•

.

FB

）
=

1

5

•

3

4

•

5

6

+

4

5

•

1

4

•

5

6

+

4

5

•

3

4

•

1

6

=

47

120

P（ξ=2）=P（AC•CF•

.

FB

）+P（AC•

.

CF

•FB）+P（

.

AC

•CF•FB）
=

1

5

•

1

4

•

5

6

+

1

5

•

3

4

•

1

6

+

4

5

•

1

4

•

1

6

=

12

120

P（ξ=3）=P（AC•CF•FB）=

1

5

•

1

4

•

1

6

=

1

120

，
∴Eξ=0×

1

2

+1×

47

120

+2×

12

120

+3×

1

120

=

37

60

答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为

37

60

．

点评：本题考查离散型随机变量的期望和相互独立事件的概率，本题是一个易错题，易错点在题目中出现的道路情况比较多，需要仔细写出不要出错．