Question

设集合A={x|log

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(x2-7x+14)＞-2}，B={x|ax-3≤(

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a

)2x-9，a≥0且a≠1}，求A∩B．

Answer 1

分析：根据对数函数y=log

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2

x在（0，+∞）的单调性，解不等式log

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2

(x2-7x+14)＞-2，即可求得集合A，利用指数函数y=a^x的单调性解不等式a^x-3≤(

1

a

)2x-9，即可求得集合B，根据集合的交集运算求得结果．

解答：解：由log

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2

(x2-7x+14)＞-2得0＜x2-7x+14＜4，
解得：2＜x＜5，
∴A={x|2＜x＜5}；
由a^x-3≤(

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a

)2x-9得a^x-3≤a^9-2x，
当0＜a＜1时，有x-3≥9-2x
∴x≥4，即B={x|x≥4}，
此时A∩B={x|4≤x＜5}；
当a＞1时，有x-3≤9-2x，
∴x≤4，即B={x|x≤4}，
此时A∩B={x|2＜x≤4}．

点评：本题以集合的运算为载体，考查对数函数和指数函数的单调性，并利用函数的单调性求解不等式，体现了分类讨论的数学思想方法，特别在解题过程中注意对数函数的定义域，属中档题．