Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x，y∈（0，+∞），
（Ⅰ）令函数f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的图象为曲线C₁，曲线C₁与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t）（n＞0），设曲线C₁在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值；
（Ⅱ）令函数g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的图象为曲线C₂，若存在实数b使得曲线C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当x，y∈N^*且x＜y时，证明F（x，y）＞F（y，x）．

Answer 1

（Ⅰ）∵F（x，y）=（1+x）^y
∴f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))=2log2(x2-4x+9)=x2-4x+9，
故A（0，9），…（1分）
又过坐标原点O向曲线C₁作切线，切点为B（n，t） （n＞0），f'（x）=2x-4．  
∴

t=n2-4n+9 t n =2n-4

，
解得B（ 3，6 ），…（2分）
∴S=

∫

30

(x2-4x+9-2x)dx=(

x3

3

-3x2+9x)|03=9．       …（4分）
（Ⅱ）g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))=x3+ax2+bx+1，
设曲线C₂在x₀（-4＜x₀＜-1）处有斜率为-8的切线，
又由题设log₂（x³+ax²+bx+1）＞0，g'（x）=3x²+2ax+b，
∴存在实数b使得

3x02+2ax0+b=-8      (1)    -4＜x0＜-1              (2) x03+ax02+bx0＞0     (3)

有解，…（6分）
由（1）得b=-8-3x02-2ax0，代入（3）得-2x02-ax0-8＜0，…（7分）
∴由

2x02+ax0+8＞0 -4＜x0＜-1

有解，
得2×（-4）²+a×（-4）+8＞0或2×（-1）²+a×（-1）+8＞0，
∴a＜10或a＜10，
∴a＜10．                                               …（9分）
（Ⅲ）令h(x)=

ln(1+x)

x

 ， x≥1，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，…（10分）
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，  x＞0，
∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0，
∵p（x）在[0，+∞）连续∴p（x）在[0，+∞）单调递减，…（12分）
∴当x＞0时有，p（x）＜p（0）=0，
∴当x≥1时有，h'（x）＜0，
∴h（x）在[1，+∞）单调递减，…（13分）
∴1≤x＜y时，有

ln(1+x)

x

＞

ln(1+y)

y

，
∴yln（1+x）＞xln（1+y），
∴（1+x）^y＞（1+y）^x，
∴当x，y∈N^*且x＜y时，F（x，y）＞F（y，x）．                …（14分）