Question

（2013•莱芜二模）已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA1=

3

，点D为AC的中点，点E在线段AA₁上
（I）当AE：EA₁=1：2时，求证DE⊥BC₁；
（Ⅱ）是否存在点E，使三棱锥C₁-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的

1

3

，若存在，求AE的长，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）证明BD⊥DE，说明△ADE是直角三角形，求出∠ADE=30°，说明△DCC₁是直角三角形，求出∠C₁DC=60°，然后证明DE⊥BC₁．
（Ⅱ）设AE=h，利用S△DEC1=SAA1C1C-S△AED-S△DCC1-S△EA1C1，通过VC1-BDE=VB-C1DE求出棱锥的体积，利用三棱锥C₁-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的

1

3

，求出h，然后说明存在E即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以三角形△ABC是正三角形，
又因为D是AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面CAA₁C₁，所以BD⊥DE，
因为AE：EA₁=1：2，AB=2，AA1=

3

，所以AE=

3

3

，AD=1，
所以在Rt△ADE中，∠ADE=30°，
在Rt△DCC₁中∠C₁DC=60°，
所以∠EDC₁=90°即：DE⊥BC₁．
（Ⅱ）设AE=h，则A₁E=

3

-h，
∴S△DEC1=SAA1C1C-S△AED-S△DCC1-S△EA1C1
=2

3

-

1

2

h-(

3

-h)-

3

2

=

3

2

+

1

2

h，
∵BD⊥平面ACC₁A₁，
VC1-BDE=VB-C1DE=

1

3

(

3

2

+

1

2

h)•

3

=

1

2

+

3

6

h
又V棱柱=

1

2

×2×

3

×

3

=3，
∴

1

2

+

3

6

h=1
解得：h=

3

≤

3

，
故存在点E，E为A₁时，三棱锥C₁-BDE的体积恰为三棱柱ABC-A₁B₁C₁体积的

1

3

，

点评：本题考查直线与直线的垂直的证明，棱锥的体积的求法，存在性问题的解题的策略，考查空间想象能力以及逻辑推理与计算能力．