Question

如图2-6-13,已知⊙O₁、⊙O₂外切于点P,过⊙O₁上一点B作⊙O₁的切线,交⊙O₂于C、D,直线PB交⊙O₂于点A.

图2-6-13

求证:AD²+BC·BD=AB².

Answer 1

解析:由BC·BD联想到割线定理BC·BD=BP·AB,又等式右边含AB²,考虑移项后和差化积.

AD²=AB²-BC·BD=AB²-BP·AB

=AB(AB-BP)=AB·AP.

只需证AD²=AB·AP,利用△ABD∽△ADP.

证明:过P作公切线EF交BD于点E,

由切线长定理,得EB=EP.

∴∠B=∠EPB.∵∠EPB=∠APF,∠APF=∠ADP.

∴∠B=∠ADP.

又∠A=∠A,∴△ABD∽△ADP.

∴=.

∴AD²=AB·AP.

由割线定理,得BC·BD=BP·AB.

∴AD²+BC·BD=AB·AP+BP·AB=AB(AP+BP)=AB².

∴AD²+BC·BD=AB².