Question

【题目】设函数，是函数的导数.

（1）若，证明在区间上没有零点；

（2）在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，

函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；

（2）由题意可将转化为，构造函数，

利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．

（1）若，则，，

设，则，，

，故函数是奇函数．

当时，，，这时，

又函数是奇函数，所以当时，.

综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.

又，，

故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.

（2），由，所以恒成立，

若，则，设，

.

故当时，，又，所以当时，，满足题意；

当时，有，与条件矛盾，舍去；

当时，令，则，

又，故在区间上有无穷多个零点，

设最小的零点为，

则当时，，因此在上单调递增.

，所以.

于是，当时，，得，与条件矛盾.

故的取值范围是.