Question

选做题（选修4—1：几何证明选讲）如图，△ABC是圆O的内接三角形，AC=BC，D为圆O中上一点，延长DA至点E，使得CE=CD.

(1)求证：AE=BD；

(2)若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD.

Answer 1

证明:(1)在△ABC中,∠CAB=∠CBA.在△ECD中,∠CED=∠CDE.

∵∠CBA=∠CDE,∴∠ACB=∠ECD.∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ADE.

∴∠ACE=∠BCD.

在△ACE和△BCD中,∠ACE=∠BCD;CE=CD;AC=BC,∴△ACE≌△BCD.∴AE=BD.

(2)若AC⊥BC,∵∠ACB=∠ECD,∴∠ECD=90°,∠CED=∠CDE=45°.

∴DE=2CD.又∵AD+BD=AD+EA=ED,∴AD+BD=2CD.