Question

（2012•江苏一模）已知函数f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

若存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂），则x₁f（x₂）的取值范围是

[

2- 2

4

，

1

2

）

．

Answer 1

分析：先作出函数图象然后根据图象可得要使存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂）则必有0≤x₁＜

1

2

且x+

1

2

在[0，

1

2

）的最小值大于等于2^x-1在[

1

2

，2）的最小值从而得出x₁的取值范围然后再根据x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x12+

1

2

x1即问题转化为求y=x12+

1

2

x1在x₁的取值范上的值域．

解答：解：作出函数f(x)=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 2x-1，x∈[ 1 2 ，2)

的图象：
∵存在x₁，x₂，当0≤x₁＜x₂＜2时，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜

1

2

∵x+

1

2

在[0，

1

2

）上的最小值为

1

2

；2^x-1在[

1

2

，2）的最小值为

2

2

∴x₁+

1

2

≥

2

2

，x₁≥

2 - 1

2

∴

2 - 1

2

≤x₁＜

1

2

∵f（x₁）=x₁+

1

2

，f（x₁）=f（x₂）
∴x₁f（x₂）=x₁f（x₁）=x12+

1

2

x1
令y=x12+

1

2

x1（

2 - 1

2

≤x₁＜

1

2

）
∴y=x12+

1

2

x1为开口向上，对称轴为x=-

1

4

的抛物线
∴y=x12+

1

2

x1在区间[

2 - 1

2

，

1

2

）上递增
∴当x=

2 - 1

2

时y=

2- 2

4

当x=

1

2

时y=

1

2

∴y∈[

2- 2

4

，

1

2

）
即x₁f（x₂）的取值范围为[

2- 2

4

，

1

2

）
故答案为[

2- 2

4

，

1

2

）

点评：本题主要考查了利用一元二次函数的单调性求函数的值域，属常考题，较难．解题的关键是根据函数的图象得出x₁的取值范围进而转化为y=x12+

1

2

x1在x₁的取值范上的值域即为所求同时一元二次函数的单调性的判断需考察对称轴与区间的关系这要引起重视！