Question

（2012•安徽模拟）等差数列{a_n}的公差d∈（0，1），且

sin2a3-sin2a7

sin(a3+a7)

=-1，当n=10时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最小值，则首项a₁的取值范围为（　　）

• A．(-

  5

  8

  π，-

  9

  16

  π)
• B．[-

  5

  8

  π，-

  9

  16

  π]
• C．(-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π)
• D．[-

  5

  4

  π，-

  9

  8

  π]

Answer 1

分析：利用三角函数的降幂公式将条件

sin2a3-sin2a7

sin(a3+a7)

=-1转化为：

cos2a7-cos2a3

2

=-sin（a₃+a₇），再利用和差化积公式转化，求得sin（a₇-a₃）=1，从而可求得等差数列{a_n}的公差d=

π

8

，
再由

a10≤0 a11≥0

即可求得首项a₁的取值范围．

解答：解：∵{a_n}为等差数列，

sin2a3-sin2a7

sin(a3+a7)

=-1，
∴

1-cos2a3 2 - 1-cos2a7 2

sin(a3+a7)

=-1，
∴

cos2a7-cos2a3

2

=-sin（a₃+a₇），
由和差化积公式可得：

1

2

×（-2）sin（a₇+a₃）•sin（a₇-a₃）=-sin（a₃+a₇），
∵sin（a₃+a₇）≠0，
∴sin（a₇-a₃）=1，
∴4d=2kπ+

π

2

∈（0，4）
∴k=0，
∴4d=

π

2

，d=

π

8

．
∵n=10时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最小值，
∴

a10≤0 a11≥0

即

a1+9× π 8 ≤0 a1+10× π 8 ≥0

，
∴-

5π

4

≤a₁≤-

9π

8

．
故选D．

点评：本题考查数列与三角函数的综合，利用三角函数的降幂公式与和差化积公式求得sin（a₇-a₃）=1是关键，也是难点，继而可求出d=

π

8

，问题迎刃而解，突出化归思想与函数与方程思想的考查，属于难题．