Question

已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2,点在该椭圆上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C上的一点在第一象限，且满足,圆的方程为．求点坐标，并判断直线与圆的位置关系；

（3）设点为椭圆的左顶点，是否存在不同于点的定点,对于圆上任意一点,都有为常数，若存在，求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在轴上，左右焦点分别为，且=2,点在该椭圆上。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C上的一点在第一象限，且满足,圆的方程为．求点坐标，并判断直线与圆的位置关系；

（3）设点为椭圆的左顶点，是否存在不同于点的定点,对于圆上任意一点,都有为常数，若存在，求所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）设椭圆的方程为，由题意可得：

椭圆C两焦点坐标分别为，

由点在该椭圆上，.

又得 ，--3分, 故椭圆的方程为.

（2）设点P的坐标为,则-----------①

由得，∴，即-②

由①②联立结合解得：，即点P的坐标为

∴直线的方程为

∵圆的圆心O到直线的距离∴直线与⊙O相切

（3）的坐标为，则，假设存在点，对于上任意一点,都有为常数，则,

∴(常数)恒成立

又x²+y²=4,  可得:恒成立

∴∴或（不合舍去）

∴存在满足条件的点B，它的坐标为