已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.左.右焦点分别为F1.F2过F1作不与x轴重合的直线l1.与椭圆C交于P.Q两点.若△PQF2的周长为4$\sqrt{2}$．(1)求椭圆C的标准方程(2)过F1作与直线l1垂直的直线l2.且l2与椭圆C交于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂过F₁作不与x轴重合的直线l₁，与椭圆C交于P，Q两点，若△PQF₂的周长为4$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的标准方程
（2）过F₁作与直线l₁垂直的直线l₂，且l₂与椭圆C交于点M，N两点，求四边形PMQN面积的取值范围．

分析（1）由椭圆的定义可得4a=4$\sqrt{2}$，及离心率公式，a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线l₁的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，化简整理，再由基本不等式即可得到所求范围．

解答解：（1）由椭圆的定义可得4a=4$\sqrt{2}$，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，及a²=b²+c²，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
即有所求椭圆C的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）若直线l₁斜率不存在，则此时|PQ|=$\sqrt{2}$，|MN|=2$\sqrt{2}$，
四边形PQMN的面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|MN|=2；
若直线l₁的斜率存在且不为0，则可设l₁：y=k（x+1），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立椭圆方程，消去y得，（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{（4{k}^{2}）^{2}-4（2{k}^{2}-2）（2{k}^{2}+1）}}{1+2{k}^{2}}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$=2$\sqrt{2}$•$\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
同理，用-$\frac{1}{k}$ 代替k，得|MN|=2$\sqrt{2}$•$\frac{1+{k}^{2}}{2+{k}^{2}}$，
则四边形PQMN的面积S=$\frac{1}{2}$|PQ|•|MN|=4•$\frac{1+2{k}^{2}+{k}^{4}}{2+5{k}^{2}+2{k}^{4}}$=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{4}+10{k}^{2}+4}$）
=4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+10}$），由4k²+$\frac{4}{{k}^{2}}$≥2$\sqrt{4{k}^{2}•\frac{4}{{k}^{2}}}$=8，当且仅当k²=1时等号成立，
即有$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+10}$∈（0，$\frac{1}{16}$]，则 4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+10}$）∈[$\frac{16}{9}$，2），
综上所述，四边形PQMN的面积S∈[$\frac{16}{9}$，2]．