Question

二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[t，t＋2]上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1 　　∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x．即2ax＋a＋b＝2x，所以 　　，∴f(x)＝x2－x＋1．　4分 　　由题意得x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m＞0在[t，t＋2]上恒成立． 　　设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝， 　　当t＞1.5时，g(x)最小值为g(t)＝t2－3t＋1－m＞0 　　此时，m＜t2－3t＋1 　　当时，g(x)最小值为g(1.5)＝＞0 　　此时， 　　当时，g(x)最小值为g(t＋2)＝t2＋t－1－m＞0 　　此时m＜t2＋t－1　12分