Question

【题目】设函数．

（1）求的最小值；

（2）记的最小值为，已知函数，若对于任意的，恒有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到最小值点即可求得最小值；（2），把分子设为新函数，并用导数研究其单调性，可知在上单调递增，由于，且当时，，所以存在，使，且在上单调递减，在上单调递增，所以必有，据此求得，分类参数即可求得参数的范围.

试题解析：（1）由已知得．．．．．．．．．．1分

令，得；令，得，

所以的单调减区间为，单调增区间为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

从而．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由（1）中得．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

令，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

所以在上单调递增，

因为，且当时，，

所以存在，使，且在上单调递减，在上单调递增．．．．．．8分

因为，所以，即，因为对于任意的，恒有成立，

所以．．．．．．．．．．．．9分

所以，即，亦即，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

因为，所以，

又，所以，从而，

所以，故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分