Question

已知：四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45º（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求点D到平面PCE的距离.

Answer 1

（1）证明：取PC的中点为G，连结FG、EG

 ∵FG∥DC   FG=DC   DC∥AB   AE=AB

∴FG∥AE    

∴四边形AFGE为平行四边形

∴AF∥EG   又∵AF平面PCE   EG平面PCE

∴AF∥平面PCE

（2）证明：∵PA⊥平面ABCD   AD⊥DC    ∴PD⊥DC

∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角    ∴∠PDA=45º，即△PAD为等腰直角三角形

又∵F为PD的中点      AF⊥PD   ①

    由DC⊥AD   DC⊥PD   AD∩PD=D

    得：DC⊥平面PAD  而AF平面PAD

   ∴ AF⊥DC  ②

由①②得AF⊥平面PDC  而EG∥AF

   ∴EG⊥平面PDC   又EG平面PCE

   ∴平面PCE⊥平面PDC

（3）解：过点D作DH⊥PC于H

∵平面PCE⊥平面PDC     ∴DH⊥平面PEC

    即DH的长为点D到平面PEC的距离

    在Rt△PAD中，PA=AD=a    PD=a

    在Rt△PDC中，PD=a,CD=a

PC=a    DH=a

即：点D到平面PCE的距离为a。