Question

已知：四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且PA=AB=2，PC与底面ABCD所成角为45⁰，PD的中点为E，F为AB上的动点．
（1）求三棱锥E-FCD的体积；
（2）当点F为AB中点时，试判断AE与平面PCF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线与平面所成角的定义，先在Rt△PAC中计算出PA=AC=2，从而得到底面菱形ABCD的对角线AC与边长相等，得到底面的面积为

3

．再根据F在菱形ABCD的一条边上，可得△FCD面积等于菱形ABCD面积的一半，又因为PD的中点为E，所以E到平面FCD的距离等于P到平面FCD的距离即PA的一半，从而得到三棱锥E-FCD的体积等于三棱锥P-FCD的体积的一半，不难算出这个体积；
（2）取PC中点G，连接FG、EG，利用三角形中位线定理可以证明出四边形AEGF是平行四边形，从而AE∥BG，最后用直线与平面平行的判定定理得出AE与平面PCF平行的位置关系．

解答：解：（1）连AC，因为PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA为PC与底面ABCD所成角，
即∠PCA=45°，∴PA=AC=2，AC=AB=BC=2，
∴S_△FCD=

1

2

×2×

3

=

3

．
因为E为PD的中点，
∴V_E-FCD=

1

2

VP-FCD
=

1

2

•

1

3

S△FCD•PA
=

1

6

•

3

•2
=

3

3

…（6分）
（2）当点F为AB中点时，AE∥平面PCF…（7分）
下面证明这一结论：
设PC的中点为G，连接FG，EG，
则EG∥CD，且EG=

1

2

CD．
又∵四边形ABCD是菱形，点F为AB中点，
∴EG∥AF，且EG=AF，
∴四边形AEGF为平行四边形，
∴AE∥GF．  
又∵GF?平面PFC，AE?平面PFC，
∴AE∥平面PFC…（12分）

点评：本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点，考查了同学们对空间位置关系的认识，属于中档题．