Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣alnx（a＞0）的最小值是1．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若关于x的方程f2（x）ex﹣6mf（x）+9me﹣x=0在区间[1，+∞）有唯一的实根，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣ = ，（x＞0）， 所以，当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，当x＞ 时，f′（x）＞0，
故f（x）min=f（ ）= ﹣ ln ，
由题意可得： ﹣ ln =1，即 ﹣ ln ﹣1=0，
记g（a）= ﹣ ln ﹣1，（a＞0），
则函数g（a）的零点即为方程 ﹣ ln =1的根；
由于g′（a）=﹣ ln ，故a=2时，g′（2）=0，
且0＜a＜2时，g′（a）＞0，a＞2时，g′（a）＜0，
所以a=2是函数g（a）的唯一极大值点，
所以g（a）≤g（2），又g（2）=0，
所以a=2．
（II）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）ex+9m=0，
令g（x）=f（x）ex=（x2﹣2lnx）ex ，
则g′（x）=（x2+2x﹣ ﹣2lnx）ex ，
令r（x）=x2+2x﹣ ﹣2lnx（x≥1），
则 ，
r（x）在区间[1，+∞）内单调递增，
∴g（x）≥g（1）=e；
所以原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，
当△=0时可得m=0或m=1，经检验m=1满足条件，
当△＞0时可得m＜0或m＞1，
所以e2﹣6me+9m≤0，解之得：m≥ ，
综上，m的取值范围是{m|m=1或m≥ }
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出f（x）的最小值，问题转化为 ﹣ ln ﹣1=0，记g（a）= ﹣ ln ﹣1，（a＞0），根据函数的单调性求出a的值即可；（Ⅱ）由条件可得f2（x）e2x﹣6mf（x）ex+9m=0，令g（x）=f（x）ex=（x2﹣2lnx）ex ， 原问题等价于方程t2﹣6mt+9m=0在区间[e，+∞）内有唯一解，通过讨论△的符号，求出m的范围即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．