Question

已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，椭圆C另一个焦点是F₁，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l过点（-1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F₂PQ的内切圆面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，可知焦点在x轴上且M点坐标（c，）．F₁（-c，0），F₂（c，0）．利用，可得c=1，设椭圆C方程
M点代入椭圆C方程，即可求得椭圆C方程；
（Ⅱ）要使△F₂PQ的内切圆面积最大，即使△F₂PQ的面积最大，根据F₂F₁为定长，可得当且仅当直线L过（-1，0），与x轴垂直时△F₂PQ的面积最大．
解答：解：（Ⅰ）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F₂，
可知焦点在x轴上且M点坐标（c，）．F₁（-c，0），F₂（c，0）．
∵，
∴，∴c=1．设椭圆C方程：
M点坐标（1，）代入椭圆C方程得，
∵c=-1，
∴a=2，b=．
∴椭圆C方程为
（Ⅱ）要使△F₂PQ的内切圆面积最大，即使△F₂PQ的面积最大，
∵F₂F₁为定长，
∴当且仅当直线L过（-1，0），与x轴垂直时△F₂PQ的面积最大
此时P（-1，），Q（-1，-）
∴|F₂P|=|F₂Q|=，|PQ|=3
设△F₂PQ的内切圆半径为r，则
∴r=，其面积S=．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的内切圆的面积，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．