Question

1．已知f（x）=a•2^x+b•3^x，其中a，b为实数，ab≠0．
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若ab＜0，求使f（x+2）＞f（x）成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用函数的单调性定义，即可证得，注意作差、变形，运用指数函数的单调性；
（2）首先化简得到3a•2^x+8b•3^x＞0，再讨论a＞0，b＜0和a＜0，b＞0，运用指数函数的单调性即可得到范围．

解答 解：（1）当a＞0，b＞0时，函数f（x）在R上是增函数．
理由如下：任取m，n∈R，m＜n，
则f（m）-f（n）=a（2^m-2ⁿ）+b（3^m-3ⁿ），
由于m＜n，则2^m＜2ⁿ，a＞0，即有a（2^m-2ⁿ）＜0，b＞0，3^m＜3ⁿ，即有b（3^m-3ⁿ）＜0，
则f（m）-f（n）＜0，
故函数f（x）在R上是增函数；
同理，当a＜0，b＜0时，函数f（x）在R上是减函数；
当a，b异号时，函数f（x）在R上单调性不确定；
（2）f（x+2）＞f（x）
即有f（x+2）-f（x）=（a•2^x+2+b•3^x+2）-（a•2^x+b•3^x）
=3a•2^x+8b•3^x＞0，
当a＜0，b＞0时，（$\frac{3}{2}$）^x＞-$\frac{3a}{8b}$，则x＞log_1.5（-$\frac{3a}{8b}$）；
当a＞0，b＜0时，（$\frac{3}{2}$）^x＜-$\frac{3a}{8b}$，则x＜log_1.5（-$\frac{3a}{8b}$）．

点评 本题考查函数的单调性和运用：解不等式，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．