Question

在正四棱锥P-ABCD中（如图），若异面直线PA与BC所成角的正切值为2，底面边长AB=4．
（1）求侧棱与底面ABCD所成角的大小．
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

解：（1）过P作斜高PE，PO⊥底面ABCD，AD∥BC∴∠PAD为异面直线PA与BC所成的角θ且tanθ=2（3分）
在Rt△PEA中tanθ=2=且AE=2所以PE=4，（5分）
正四棱锥P-ABCD的高为在Rt△POA中，∴∴，
侧棱与底面ABCD所成角的大小为（ 或写成） （7分）
（2）V_P--ABCD=（14分）
分析：（1）要求侧棱与底面ABCD所成角的大小，关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影．过P作斜高，则∠PAD为异面直线PA与BC所成的角，进而可求侧棱与底面ABCD所成角的大小
（2）求四棱锥P-ABCD的体积，关键是求出底面积与高，进而利用公式求解．
点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查侧棱与底面ABCD所成角的大小，关键是找出侧棱在底面ABCD上的射影，考查几何体的体积，属于中档题．