题目内容
【题目】如图，在四面体
中，平面
平面
， 
， 
， 
．
（Ⅰ）若
， 
，求四面体
的体积；
（Ⅱ）若二面角
为
，求异面直线
与
所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析:（1）先确定四面体的高: 设
为
的中点，则
,再由面面垂直性质定理得
，最后根据锥体体积公式求体积（2）先确定二面角平面角: 设
为边
的中点，由(1)可得
为二面角
的平面角,再利用平移找线线角: 设
分别为边
的中点，则根据三角形中位线性质可得
，从而
是异面直线
与
所成的角或其补角.最后通过解三角形可得异面直线
与
所成角的余弦值.
试题解析：（I）如图，设
为
的中点，由于
，所以
.
故由平面
，知
，
即
是四面体
的面
上的高，
且
.
在
中，因为
，
由勾股定理易知
故四面体
的体积
（II）解法一：如答图，设
分别为边
的中点，则
，从而
是异面直线
与
所成的角或其补角.
设
为边
的中点，则
，
由
，知
.又由（I）有
，所以
又
故
.
所以
为二面角
的平面角，由题设知
设
在
，从而
因
，故
，从而，在
中， 
，
又
从而在
中，因
，由余弦定理得
因此，异面直线
与
所成角的余弦值为
解法二：如下图，过
作
，交
于
，已知
，
，易知
两两垂直，以
为原点，射线
分别为
轴， 
轴， 
轴的正半轴，建立空间直角坐标系
不妨设
，由
， 
，
易知点
的坐标分别为
,则
显然向量
是平面
的法向量.
已知二面角
为
，
故可取平面
的单位法向量
，
使得
，从而
设点
的坐标为
由
,取
，有
易知
与坐标系的建立方式不合，舍去.
因此点
的坐标为
所以
从而
故异面直线
与
所成的角的余弦值为
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x | 1 | 2 | 3 |
f（x） | 2 | 3 | 1 |
x | 1 | 2 | 3 |
g（x） | 3 | 2 | 1 |
A.{1}
B.{2}
C.{3}
D.
