Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，-π＜φ≤π．若f（x）的最小正周期为4π，且当x=

π

2

时，f（x）取得最大值，则（　　）

A．f（x）在区间[-π，0]上是减函数

B．f（x）在区间[-2π，-π]上是减函数

C．f（x）在区间[2π，3π]上是增函数

D．f（x）在区间[3π，4π]上是增函数

Answer 1

分析：由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω，且当x=

π

2

时，f（x）取得最大值，结合已知-π＜φ≤π可得φ，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可

解答：解：∵函数f（x）的最小正周期为4π，根据周期公式可得ω=

2π

4π

=

1

2

，
∴f（x）=2sin（

1

2

x+φ），
∵当x=

π

2

时，f（x）取得最大值，∴2sin（

π

4

+φ）=2，
∵-π＜φ≤π，∴φ=

π

4

，∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

），
 由-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

4

≤

π

2

+2kπ k∈Z．
可得函数的单调增区间：[4kπ-

3π

2

，4kπ+

π

2

]，k∈Z．
由

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z．
可得函数的单调减区间：[4kπ+

π

2

，4kπ+

5π

2

]，k∈Z．
结合选项可知D正确，
故选：D．

点评：本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查．