Question

设二次函数f（x）=（k-4）x²+kx（k∈R），对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a₁∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，求：．

Answer 1

【答案】分析：（1）只需二次项的系数为0，△≤0即可求出k的值，从而确定f（x），进而确定值域．
（2）当成立，可以证明a_n+1-a_n＞0，本题答案不唯一．
（3）由（2）得出，，设，得，，进而求出的值．
解答：解：（1）由f（x）≤6x+2恒成立等价于（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，（1分）
从而得：，化简得，从而得k=2，所以f（x）=-2x²+2x，（3分）
其值域为．（4分）
（2）解：当时，数列a_n在这个区间上是递增数列，证明如下：
设，则，所以对一切n∈N^*，均有；（7分），
从而得a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n，所以数列a_n在区间上是递增数列．（10分）
注：本题的区间也可以是、、等无穷多个．
另解：若数列a_n在某个区间上是递增数列，则a_n+1-a_n＞0
即a_n+1-a_n=f（a_n）-a_n=-2a_n²+2a_n-a_n=-2a_n²+a_n＞0（7分）
又当时，，所以对一切n∈N^*，均有且a_n+1-a_n＞0，所以数列a_n在区间上是递增数列．（10分）
（3）（文科）由（2）知，从而；，即；（12分）
令，则有b_n+1=2b_n²且；
从而有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，可得lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），
所以数列lgb_n+lg2是以为首项，公比为2的等比数列，（14分）
从而得，即，所以，
所以，所以，（16分）
所以，=．（18分）
点评：本题是数列与函数的综合题，考查了函数的值域，数列的化简与求和，是综合性题目，对基本方法和灵活运用要求比较高，属于高档题目．