Question

有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

（0，

6

+

2

）

．

Answer 1

分析：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形：①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，②当底面三角形的边长分别为a，2，2，其他各边长为2，2，a，有最小值，从而求得a的取值范围．

解答：解：根据三棱锥的相对位置，将底面三角形的三边长分成两种情形：
①当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图1，
此时a取最大值，可知AD=

3

，SD=

a2-1

，
由于SD＜SA+AD，则有

a2-1

＜2+

3

，
即 a2＜8+4

3

=(

6

+

2

)2，即有a＜

6

+

2

②构当底面三角形的边长分别为a，2，2，其他各边长为2，2，a，
如图所示，此时a可以取最大为2

2

任意正数；
综上则a的取值范围是（0，

6

+

2

）；
故答案为：（0，

6

+

2

）．

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征、解三角形等基础知识，考查空间想像能力，分类讨论思想，属于基础题．