Question

【题目】如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE；（Ⅱ）建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面BEF的法向量为和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值

试题解析：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以DE⊥AC． 因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

又BD，DE相交且都在平面BDE内，从而AC⊥平面BDE．

（2）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．

因为DE⊥平面ABCD，所以BE与平面ABCD所成角就是∠DBE．已知BE与平面ABCD所成角为60°，所以∠DBE＝60°，所以

由AD＝3可知DE＝3，AF＝．

由A（3，0，0），F（3，0， ），E（0，0，3），B（3，3，0），C（0，3，0），

得＝（0，－3， ），＝（3，0，－2）．设平面BEF的法向量为n＝（x，y，z），

则即令z＝，则n＝（4，2， ）．

因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量m＝（3，－3，0），

所以cos〈n，m〉＝＝．

因为二面角为锐角，所以二面角FBED的余弦值为．