题目内容

设A、B为在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)上两点，O为坐标原点．若OA丄OB，则△AOB面 积的最小值为______．
设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-
1
k
x，
则点A（x1，y1）满足
y=kx
x2
a2
-
y2
b2
=1
故x12=
a2b2
b2-a2k2
，y12=
k2a2b2
b2-a2k2
，
∴|OA|2=x12+y12=
(1+k2)a2b2
b2-a2k2
，同理|OB|2=
(1+k2)a2b2
k2b2-a2
，
故|OA|2•|OB|2=
(1+k2)a2b2
b2-a2k2
•
(1+k2)a2b2
k2b2-a2
=
(1+k2)2(a2b2)2
-a2b2+(a4+b4)k2-k4a2b2

∵
k2
(k2+1)2
=
1
k2+
1
k2
+2
≤
1
4
（当且仅当k=±1时，取等号）
∴|OA|2•|OB|2≥
4a4b4
(b2-a2)2
，又b＞a＞0，
故S△AOB=
1
2
|OA||OB|的最小值为
a2b2
b2-a2
．
练习册系列答案
相关题目
给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|
PA
|-|
PB
|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
AB
与
AP
夹角为锐角θ，且满足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为
 
．
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|
PA
|-|
PB
|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
③若方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
5
2

④双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y2=1有相同的焦点．
其中真命题的序号为
③、④
③、④
（写出所有真命题的序号）

在下面几个关于圆锥曲线命题中

①方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率

②设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|－|PB|＝K，则动点P的轨迹为双曲线

③过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线的准线上的射影分别为A1、B1，则∠A1FB1＝90°

④双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则

其中真命题序号为________
以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②平面内到两定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆
③若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
④双曲线有相同的焦点．
其中真命题的序号为    （写出所有真命题的序号）
给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量与夹角为锐角θ，且满足 ，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为    ．

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