Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D₁是棱B₁C₁的中点．
（I）求证：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）求三棱锥C₁-A₁D₁C与多面体A₁B₁D₁CAB的体积的比值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件推导出AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，由此能够证明A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）由AB=2，AC=2，CC₁=2，，，，分别求出和三棱锥C₁-A₁D₁C的体积，由此能求出结果．
解答：解：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A，ACC₁A₁均为正方形，
∠BAC=90°，AB=2，点D₁是棱B₁C₁的中点，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥平面ABC，
∵A₁D₁?平面A₁B₁C₁，D₁是B₁C₁的中点，
∴A₁D₁⊥B₁C₁，
∵CC₁∩B₁C₁，∴A₁D₁⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅱ）∵AB=2，AC=2，CC₁=2，，，，
∴=
==4．

=
==．
∴三棱锥C₁-A₁D₁C与多面体A₁B₁D₁CAB的体积的比值==．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查三棱锥与多面体的体积之比，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．