题目内容
已知函数f（x）=x+
．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（3）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数．
| 1 |
| x |
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（3）用定义证明f（x）在（0，1）上是减函数．
（1）由题意若函数f（x）=x+
的解析式有意义
自变量须满足x≠0，
所以函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）此函数是一个奇函数，证明如下
由（1）知函数的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=-x-
=-（x+
）=-f（x），
∴函数是奇函数；
（3）此函数在（0，1）上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＜1，x1•x2-1＜0
f（x1）-f（x2）=（x1+
）-（x2+
）=（x1-x2）（
）＞0
即有f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）
故函数在（0，1）上是减函数
| 1 |
| x |
自变量须满足x≠0，
所以函数的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）此函数是一个奇函数，证明如下
由（1）知函数的定义域关于原点对称，
又∵f（-x）=-x-
| 1 |
| x |
| 1 |
| x |
∴函数是奇函数；
（3）此函数在（0，1）上是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈（0，1）且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1•x2＜1，x1•x2-1＜0
f（x1）-f（x2）=（x1+
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x2 |
| x1•x2-1 |
| x1•x2 |
即有f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2）
故函数在（0，1）上是减函数
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| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
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