Question

1．设抛物线y²=8x上有两点A，B，其焦点为F，满足$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，则|AB|=9．

Answer 1

分析 由于$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，可得直线经过焦点F（2，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．设直线AB的方程为：
y=k（x-2）．与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算、焦点弦长公式即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，∴直线经过焦点F（2，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂）．
设直线AB的方程为：y=k（x-2）．
与抛物线方程联立，化为k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+8}{{k}^{2}}$，x₁x₂=4．
∵$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，∴x₁-2+2（x₂-2）=0，
∴x₁+2x₂=6，解得x₁=4，x₂=1，k²=8．
∴|AB|=x₁+x₂+p=5+4=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．