Question

【题目】如图，在平行四边形中，，.现沿对角线将折起，使点到达点.点、分别在、上，且、、、四点共面.

（1）求证：；

（2）若平面平面，平面与平面夹角为，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

(1)本题首先可以设，通过题意即可得出的长，然后根据余弦定理即可计算出的长并根据勾股定理判断出，最后根据线面平行的相关性质即可得出并证得；

(2)本题可以通过建立空间直角坐标系然后利用平面的法向量来求出与平面所成角的正弦值。

（1）不妨设，则，

在中，根据余弦定理可得，计算得，

因为，所以.

因为，且、、、四点共面，所以平面.

又平面平面，所以.

而，故.

（2）因为平面平面，且，所以平面，，

因为，所以平面，，

因为，平面与平面夹角为，所以，

从而在中，易知为的中点，

如图，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，则由，

得，令，得.

设与平面所成角为，则。