Question

证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N^*且a、b、c互不相

　　等时，均有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ。

 

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=，c=bq(q＞0且q≠1) 　　∴ 　　(2)设a、b、c 为等比数列，则2B=a+C．猜想＞()n (n≥2且n∈N*)。 　　下面用数学归纳法证明。 　　当n=2时，由2()＞2()＞()2， 　　∴ ＞()2 　　设n=k时成立，即＞()k， 　　则n=k+1时，=(ak+1 ck+1+ak+1+ck+1)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a) =(ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1 　　∴ 由①②可知，当n＞1中，nÎN·且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn。 　　∴ 由(1)(2)可知，当n＞1，nÎN·且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn。