题目内容
证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn.
证明：(1)设a、b、c为等比数列,a=
,c=bq(q＞0且q≠1).
∴an+cn=
+bnqn=bn(
+qn)＞2bn.
(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c.猜想
＞(
)n(n≥2且n∈N*).
下面用数学归纳法证明.
①当n=2时,由2(a2+c2)＞(a+c)2,
∴
＞(
)2.
②设n=k时成立,即
＞(
)k,
则当n=k+1时,
(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)＞
(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)= 
(ak+ck)(a+c)＞(
)k·(
)=(
)k+1.
∴由①②可知,当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有
＞(
)n.
∴由(1)(2)可知,当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有an+cn＞2bn.
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