Question

【题目】已知，函数

（1）讨论的单调区间和极值；

（2）将函数的图象向下平移1个单位后得到的图象，且为自然对数的底数）和是函数的两个不同的零点，求的值并证明： 。

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数f（x）的定义域，求导数得f ′(x)＝，进而通过导数的正负得单调区间及极值；

（2）利用g（x）=mx﹣lnx，且x1=是函数g（x）的零点，推出m值，利用函数的零点判定定理，结合函数g（x）在（2，+∞）上单调递增，即可证得．

试题解析：

解：（1）函数f(x)的定义域为（0，＋∞）.求导得f ′(x)＝m－＝.

①若m≤0，则f ′(x)<0，f(x)是（0，＋∞）上的减函数，无极值；

②若m＞0，令f ′(x)＝0，得x＝.

当x∈（0， ）时，f ′(x)<0，f(x)是减函数；

当x∈（，＋∞）时，f ′(x)>0，f(x)是增函数.

所以当x＝ 时，f(x)有极小值，极小值为f()＝2—ln＝2+lnm.

综上所述，当m≤0时，f(x)的递减区间为（0，＋∞），无极值；当m＞0时，f(x)的递增区间为（，＋∞），递减区间为（0， ），极小值为2+lnm

（2）因为,且x1＝是函数g(x)的零点，

所以g()＝0，即m—＝0，解得m＝.

所以g(x)＝－lnx. 因为g(e)＝－<0，g(e)＝－>0，

所以g(e)g(e)＜0.

由（1）知，函数g(x)在（2，＋∞）上单调递增，

所以函数g (x)在区间（e，e）上有唯一零点，

因此x2＞e，即x2＞.