题目内容
【题目】如图，在正方体
中， 
分别是棱
的中点， 
为棱
上一点，且异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（1）证明： 
为
的中点；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，不妨令正方体的棱长为2，设
，利用
，解得
，即可证得；
（2）分别求得平面
与平面
的法向量
，利用
求解即可.
试题解析：
（1）证明：以
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
.
不妨令正方体的棱长为2，
则
， 
， 
， 
， 
，
设
，则
， 
，
所以
，
所以
，解得
（
舍去），即
为
的中点.
（2）解：由（1）可得
， 
，
设
是平面
的法向量，
则
.令
，得
.
易得平面
的一个法向量为
，
所以
.
所以所求锐二面角的余弦值为
.
点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】已知椭圆
的短轴长为2，且椭圆
过点
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设直线
过定点
，且斜率为
，若椭圆
上存在
两点关于直线
对称， 
为坐标原点，求
的取值范围及
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）椭圆
的短轴长为
，得
，再由椭圆上一点列方程求解
即可；
（2）设直线
的方程为
，与椭圆联立得
，利用韦达定理求得线段
的中点为
，代入直线
可得， 
，结合
即可求得
的取值范围，再求
和原点
到直线
的距离
，通过
，利用韦达定理代入求最值即可.
试题解析：
（1）∵椭圆
的短轴长为2，∴
，即
.
又点
在
上，∴
，∴
.
∴椭圆
的方程为
.
（2）由题意设直线
的方程为
，
由
，消去
得， 
，
∴
，即
，①
且
， 
，
∴线段
中点的横坐标
，纵坐标
，
即线段
的中点为
.
将
代入直线
可得， 
，②
由①，②可得， 
，∴
.
又
，
且原点
到直线
的距离
，
∴
，
∵
，∴
，∴当
时， 
取得最大值
.
