Question

讨论函数f(x)=的单调性，并求其值域.

Answer 1

解：∵函数f(x)的定义域是（-∞,+∞），令t=x²-2x，则f(t)=()^t，

 又∵t=x²-2x=(x-1)²-1在（-∞,1]上是减函数.

∵f(t)=()^t在其定义域内是减函数，

∴函数f(x)在（-∞,1]上为增函数.

又∵函数f(t)=()^t在其定义域内为减函数，t=x²-2x=(x-1)²-1.在［1,+∞）上是增函数.

∴函数f(x)在［1,+∞）上是减函数，

综上所述，函数f(x)在（-∞,1］上是增函数；在区间［1,+∞）上是减函数.

又∵x²-2x=(x-1)²-1≥-1,

又0<<1，

∴0<≤()^-1=5,

∴函数f(x)的值域是（0,5].