Question

    如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M、N分别是AB、PC的中点.

    （1）求证：MN⊥AB；

    （2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：证明：（1）取CD的中点K，连MK、NK，     ∵AM=BM，DK=CK，∴MK=AD，且MK∥AD.     ∵AB⊥AD，∴AB⊥MK.     ∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，     ∴PD⊥AB.∵PN=CN，DK=CK，     ∴NK∥PD.∴AB⊥NK，又MK∩NK=K，     ∴AB⊥平面MNK，∴AB⊥MN.     （2）解：由（1）得MN⊥AB，故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.     ∵PN=CN，∴MN⊥PCPM=CM    ①     ∵AM=BM，∴①PA=BC.                                                            & nbsp;       ②     ∵BC=AD，∴②PA=AD.     又∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，     ∴PD⊥CD.∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.     从而PA=AD△PAD为等腰直角三角形，     ∴存在使MN为AB与PC的公垂线.