Question

已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（1+x）=f（1-x），函数f(x+

1

2

)是奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x-1，则方程f(x)=-

1

3

在区间[-3，4]内的所有根的和等于

11

3

．

Answer 1

分析：根据f（1+x）=f（1-x）可得函数关于直线x=1对称，函数f(x+

1

2

)是奇函数，可得函数关于（

1

2

，0）对称，结合函数的解析式，画出函数的图象，即可得到结论．

解答：解：∵f（1+x）=f（1-x），∴f（x）=f（2-x），∴函数关于直线x=1对称
∵函数f(x+

1

2

)是奇函数，∴f(-x+

1

2

)=-f(x+

1

2

)，
∴函数关于（

1

2

，0）对称
结合函数的图象，根据图象的对称性，可得方程f(x)=-

1

3

在区间[-3，4]内的所有根的和等于（-2）×2+2×2+

11

3

=

11

3

故答案为：

11

3

点评：本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，确定函数的性质是关键．