题目内容

已知函数f(x)＝x－，求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

答案：
解析：

　　分析：先在区间(0，＋∞)上任取两个值x1，x2，并设它们的大小，然后作差比较f(x1)与f(x2)的大小，即可正用函数单调性的定义证明函数的单调性．

　　解：任取x1＞x2＞0，

　　则f(x1)－f(x2)＝

　　

　　所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

　　故函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．

　　点评：正用函数单调性的定义证明函数的单调性，一般步骤为：设(设区间内的任意两个值x1，x2及x1与x2的大小)→变(对f(x1)－f(x2)进行变形，直至能直接确定其符号为止)→比(比较f(x1)与f(x2)的大小)→判(判定单调性)．其中变形是难点(参看4版《函数单调性　变形小技巧》)．正用函数单调性的定义证明或判断函数的单调性时，一定要注意考察f(x1)－f(x2)在给定区间上的符号是否恒定．


练习册系列答案
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已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.

(1)求实数m的值；

(2)作出函数f(x)的图像；

(3)根据图像指出f(x)的单调递减区间；

(4)根据图像写出不等式f(x)>0的解集；

(5)求当x∈[1,5)时函数的值域．

已知函数f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝2loga(2x＋t)(t∈R)，其中x∈[0,15]，a＞0，且a≠1.
(1)若1是关于x的方程f(x)－g(x)＝0的一个解，求t的值；
(2)当0＜a＜1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求t的取值范围；

已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

 

已知函数f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若函数f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围；

（3）当a＝1时，设函数f(x)在区间[t，t＋3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t)＝M(t)－m(t)，求函数g(t)在区间[－3，－1]上的最小值.

 

（本小题满分13分）(第一问8分，第二问5分)

已知函数f(x)＝2lnx，g(x)＝ax2＋3x.

（1）设直线x＝1与曲线y＝f(x)和y＝g(x)分别相交于点P、Q，且曲线y＝f(x)和y＝g(x)在点P、Q处的切线平行，若方程f(x2＋1)＋g(x)＝3x＋k有四个不同的实根，求实数k的取值范围；

（2）设函数F(x)满足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x2－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分别是函数f(x)与g(x)的导函数；试问是否存在实数a，使得当x∈(0,1］时，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.

 

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