Question

11．求函数y=$\frac{{x}^{4}+4{x}^{3}+17{x}^{2}+26x+106}{{x}^{2}+2x+7}$的最大值与最小值，其中|x|≤1．

Answer 1

分析 令x²+2x+7=（x+1）²+6=t，求得t的范围6≤t≤10．对分子化为t²-t+64，再由基本不等式可得最小值，求得t=6，10的函数值，可得最大值．

解答 解：令x²+2x+7=（x+1）²+6=t，
由|x|≤1，即为-1≤x≤1，可得0≤（x+1）²≤4，
则6≤t≤10．
x⁴+4x³+17x²+26x+106=（x⁴+4x³+4x²）+（13x²+26x+13）+93
=x²（x+2）²+13（x+1）²+93=（x²+2x）²+13（t-6）+93
=（t-6-1）²+13（t-6）+93=t²-t+64，
即有y=$\frac{{t}^{2}-t+64}{t}$=t+$\frac{64}{t}$-1在[6，8]递减，在[8，10]递增，
可得t=8，即x=$\sqrt{2}$-1取得最小值15，t=6，y=$\frac{47}{3}$；t=10，y=$\frac{77}{5}$，
则函数的最大值为$\frac{47}{3}$．

点评 本题考查分式函数的最值的求法，考查换元法的运用以及基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．