Question

已知数列{a_n}、{b_n}，a_n＞0，a₁=6，点在抛物线y²=x+1上；点B_n（n，b_n）在直线y=2x+1上．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若，问是否存在k∈N*，使f（k+15）=2f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（3）对任意正整数n，不等式成立，求正实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点在抛物线y²=x+1上，知a_n+1=a_n+1，由此能求出a_n=n+5．由点B_n（n，b_n）在直线y=2x+1上．能求出b_n=2n+1．
（2）由，知当k为奇数时，k+15为偶数，故2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），由此能求出k．
（3）由，得：，记g（n）=，由此能求出正实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵点在抛物线y²=x+1上，
∴a_n+1=a_n+1，
∵a_n＞0，a₁=6，
∴{a_n}是首项a₁=6，公差d=a_n+1-a_n=1的等差数列，
∴a_n=n+5．
∵点B_n（n，b_n）在直线y=2x+1上．
∴b_n=2n+1…（4分）
（2），
当k为奇数时，k+15为偶数，
∴2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．
当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），解得k=6．…（8分）
（3）由，
得：，
记g（n）=，
则
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）递增．
∴，
即．…（13分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法、实数k是否存在的判断和求正实数a的取值范围．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．