Question

在数列{a_n}中，a1=1，a2=

1

2

，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

(n≥2，n∈N+)，令bn=

an

n+2

，且数列{b_n}的前n项和记作T_n，则T_n的取值范围是

[

1

3

，

3

4

）

．

Answer 1

分析：由

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

(n≥2，n∈N+)可判断数列{

1

an

}为等差数列，从而可求得

1

an

，进而得到a_n，b_n，利用裂项相消法可求得T_n，根据数列的单调性即可求得T_n的取值范围．

解答：解：由

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

(n≥2，n∈N+)，知数列{

1

an

}为等差数列，首项为1，公差为

1

a2

-

1

a1

=2-1=1，
所以

1

an

=1+（n-1）•1=n，则a_n=

1

n

，
所以bn=

an

n+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
所以T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

2

-

1

4

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)，
因为-（

1

2

+

1

3

）≤-(

1

n+1

+

1

n+2

)＜0，
所以

3

2

-

5

6

≤

3

2

-(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

2

，即

2

3

≤

3

2

-(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

2

，
故

1

3

≤T_n＜

3

4

．
故答案为：[

1

3

，

3

4

）．

点评：本题考查利用数列递推公式求数列通项、等差数列的通项公式及裂项相消法求和等知识，考查学生逻辑推理能力，属中档题．