题目内容

对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
已知函数g（x）=x²与h（x）=a•2^x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，若方程g（2^x-1）+h（x）=m有解，求实m的取值范围．

解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x²≥0满足①…（1分）
当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²≥x₁²+x₂²=g（x₁）+g（x₂）满足②…（3分）
所以函数g（x）为G函数；…（4分）
（2）因为函数h（x）是G函数，根据①有h（0）=a-1≥0，∴a≥1，…（6分）
根据②有h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），∴a×2^x₁+x₂-1≥a×2^x₁-1+a×2^x₂-1
∴a[1-（2^x₁-1）（2^x₂-1）]≤1…（7分）
因为x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
所以2^x₁∈[0，1]，2^x₂∈[0，1]，其中2^x₁-1和2^x₂-1不能同时取到1，
于是（2^x₁-1）（2^x₂-1）]∈[0，1]，∴1-（2^x₁-1）（2^x₂-1）∈（0，1]，…（9分）
所以a≤ $\text{[math]}$ ，即a≤1，…（10分）
于是a=1…（11分）
（3）根据（2）知a=1，原方程可以化为4^x-2^x=m，…（12分）
由0≤2^x₁-1≤1，0≤x≤1，可得0≤x≤1，…（14分）
令t=2^x∈[1，2]，…（15分）
则m=4^x-2^x=t²-t= $\text{[math]}$ ，…（16分）
因此，当m∈[0，2]时，方程有解．…（18分）
分析：（1）根据G函数的定义，验证G函数的两个条件，即可判断；
（2）根据因为函数h（x）是G函数，利用G函数的两个条件，即可求得实数a的值；
（3）根据（2）知a=1，原方程可以化为4^x-2^x=m，再利用换元法，即可求实数m的取值范围．
点评：本题考查新定义，考查利用新定义求参数的取值，考查换元法，考查配方法求函数的值域，解题的关键是正确理解新定义．