Question

已知函数．
（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若在区间上，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：求导函数，可得f′（x）=ax²-3x（a＞0，x∈R）
（1）当a=1时，f′（x）=x²-3x，
∴
∴切线方程为，即
（2）g（x）=f'（x）+alnx=ax²-3x+alnx（a＞0，x∈R）
∵函数g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上单调递增，
∴g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立
即在x∈[2，+∞）上恒成立
设，则
∵x≥2，∴h′（x）＜0
∴函数h（x）在x∈[2，+∞）上单调减
∴
∴实数a的取值范围为；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=＞0
∵，f（）=，f（）=，f（）=1-，f（0）=1
①，即a＞6时，函数在（，0），上单调增，上单调减
∴要使在区间上，f（x）＞0恒成立，只需，∴6＜a＜15；
②当时，即0＜a≤6，函数在（，0）上单调增，上单调减
∴要使在区间上，f（x）＞0恒成立，只需，∴0＜a≤6；
综上①②可知，0＜a＜15．
分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义，确定切线的斜率，结合切点的坐标，可得切线方程；
（2）求导函数，利用函数g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上单调递增，可得g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，分离参数，利用求最值，即可确定实数a的取值范围；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=＞0，根据，分类讨论，确定函数的单调性，求出函数的最小值，建立不等式组，即可求得实数a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查函数的单调性，正确求导，恰当分类是关键．